已知抛物线y^2=2px，过A（a,0)点的一条直线和抛物线相交于P、Q两点。

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/24 11:07:11

两个交点的坐标为P（x1,y1)Q(x2,y2)。求证y1y2=-2ap。且a=2p时，求向量OP御OQ的夹角。
由（2）的条件与结论猜想：以线段PQ为直径的圆于Y轴及坐标原点的关系。
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(1)直线通过A（a，0）
所以直线方程是y=k（x-a）
化为x=y/k+a
代入y^2=2px得到y^2-2py/k-2ap=0
由根与系数关系得到 y1y2=-2ap

(2）当a=2p时 y^2-2py/k-2ap=y^2-2py/k-4p^2=0

设A是OP与X轴的交角 B是OQ与X轴的夹角

由两角和公式tg（A+B）=(tgA+tgB)/(1-tgAtgB)
=(y1/x1+y2/x2)/[1-(y1/x1)*(y2/x2)]
分子分母同时乘x1x2，x1x2用x=y/k+a=y/k+2p代入
整理得tg（A+B）分母部分=0
所以tg（A+B）不存在，也就是说OP与OQ的夹角（A+B）=90度

补充：由此（2）结论猜想
当a=2p时
以线段PQ为直径的圆通过原点，最少与Y轴有一个交点

直线y=x+b与抛物线y^2=2px相交于A、B 已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦已知抛物线y^2=2px(p>0)焦点为F 已知抛物线y=x2+ax+a-2 A,B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足OA垂直OB,求证直线AB恒过一定点已知抛物线y^2=2x,过（1/2，0）的直线交抛物线于A，B两点，求向量0A*OB 已知抛物线y^2=2PX(P大于0)与圆(X-2)^2+y^2=3相交,A,B是它们在x轴上方的交点.若线已知抛物线y=-2x^2. 抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦AB的倾斜角为a,则弦长AB为已知椭圆C1:X^2/4+Y^2/3=1,抛物线C2:(Y-m)^2=2px(p>0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点：